Из программы средней школы известно, что

Однако это просто в том случае, когда число кратно 10.
Пример:

• число 100 − это 10х10 или 102
• число 1000 −это 10х10х10 или 103
• ит.д.

Как же быть в том случае, если, например, надо выразить число 8299 как число 10 в какой-то степени? Как найти это число с определённой степенью точности, которое в данном случае равно 3,919…?

Выход – это логарифм и логарифмические таблицы

Знание логарифмов и умение пользоваться логарифмическими таблицами позволяет значительно упростить многие сложные арифметические операции.Для практического применения удобны десятичные логарифмы.

Историческая справка.
Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен вглубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 года  до н.э.). Однако первые таблицы логарифмов составили независимо друг от друга шотландский математик HUДж. Непер (1550—1617) UHи швейцарец И. Бюрги (1552—1632). Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены и опубликованы английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630).

Предлагаем читателю, не вдаваясь глубоко в математическую суть вопроса, запомнить или восстановить в памяти  несколько простейших определений, выводов и формул:

• Определение логарифма.

Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма (а), чтобы получить данное число.

• При всяком основании, логарифм единицы есть нуль:

а0 = 1

• Отрицательные числа не имеют логарифмов
• Всякое положительное число имеет логарифм
• При основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны
• Логарифм основания равен 1
• Большему числу соответствует больший логарифм
• С возрастанием числа от 0 до 1 логарифм его возрастает от-∞ до 0; с возрастанием числа от 1 до +∞ логарифм его возрастает от 1 до +∞ (где, ±∞ − знак, принятый в математике для обозначения отрицательной или положительной бесконечности чисел)
• Для практического применения удобны логарифмы, основанием  которых является число10

Эти логарифмы называются десятичными и обозначаются lg. Например:

• логарифм числа 10 по основанию 10 равен 1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в первую степень, чтобы получить число 10 (101 = 10), т.е. lg10 = 1
• логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100),т.е.  lg100 = 2

UВывод №1U: логарифм целого числа, изображаемого единицей с нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа

• логарифма числа 0,1 по основанию 10 равен -1. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус первую степень, чтобы получить число 0,1 (10-1 = 0,1), т.е. lg0,1 = -1
• логарифма числа 0,01 по основанию 10 равен -2. Иначе говоря, число 10 нужно возвести в минус вторую степень, чтобы получить число 0,1 (10-2 = 0,01), т.е. lg0,01 = -2

UВывод №2U: логарифм десятичной дроби, изображаемой единицею с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая, в том числе, и 0 целых

• в соответствии с определением №1 (см. выше):

lg1 = 0

• логарифм числа 8300 по основанию 10 равен 3,9191… Иначе говоря, число 10 нужно возвести в степень 3,9191… , чтобы получить число 8300 (103,9191…= 8300), т.е. lg8300 =3,9191…

UВывод №3U: логарифма числа, не выраженного единицей с нулями, есть число иррациональное и, следовательно, не может быть выражен точно посредством цифр.
Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближенно в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Целое число этой дроби (хотя бы это было „0 целых") называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой логарифма. Если, например, логарифм есть 1,5441, то характеристика его равна 1, а мантисса есть 0,5441.

• Основные свойства логарифмов, в т.ч. десятичных:
• логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:                                           lg(a•b)= lgа + lgb
• логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, т.е. логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифма знаменателя:

• логарифмы двух взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком

• логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания, т.е. логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм возводимого в степень числа:

lg(bk)= k•lgb

• логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня:                            
• основное тождество десятичного логарифма:                                                                                   10lgb ≡ b
• десятичные логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... равны соответственно 1, 2, 3, ..., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы
• десятичные логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001; ... равны соответственно -1, -2, -3…, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых)
• десятичные логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой, и целую часть,  называемую характеристикой
• для определения логарифма по числу используются таблицы логарифмов
• для определения  числа по логарифму используются таблицы антилогарифмов

Чтобы окончательно понять, что такое десятичный логарифм произвольного числа, детально рассмотрим несколько примеров.

UПример №2.1.1U.
Возьмем какое-нибудь целое, например 623 и смешанное число, например 623,57.
Мы знаем, что логарифм числа состоит из характеристики и мантиссы.
Сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе, или в целой части смешанного числа. В наших примерах этих цифр 3.
Поэтому каждое из чисел 623 и 623,57  больше  100, но меньше 1000.
Таким образом можно сделать вывод, что логарифм каждого из этих чисел будет больше lg 100, т. е. больше 2, но меньше lg 1000, т. е. меньше 3 (вспомним, что большее число имеет и больший логарифм).
Следовательно:
lg 623 = 2,...
lg 623,57 = 2,...
(точки заменяют собою неизвестные мантиссы).

UВывод №4U: десятичные логарифмы обладают тем удобством, что их характеристику всегда можно найти по одному виду числа.

Пусть вообще в данном целом числе, или в целой части данного смешанного числа, содержится m цифр. Так как самое малое целое число, содержащее m цифр, есть единица с m-1 нулями на конце, то (обозначая данное число N) можем написать неравенство:
 

следовательно,
m-1 < lg N < m,
поэтому
lg N = (m-1) +  положительная дробь.
значит
характеристика lgN = m-1

UВывод №5U: характеристика десятичного логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр в целой части числа без одной.

UПример №2.1.2.

Теперь возьмём несколько десятичных дробей, т.е. чисел меньших 1 (другими словами имеющих 0 целых):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 и т. п.
Логарифмы каждого из этих чисел будут находиться в промежутке между  двумя целыми отрицательными числами, различающимися на одну единицу. Причём каждый из них равен меньшему из этих отрицательных чисел, увеличенному на некоторую положительную дробь.
Например,
lg0,0056= -3 + положительная дробь
В данном случае положительная дробь будет равна 0,7482.
Тогда:
lg 0,0056 = -3 + 0,7482
UПримечанияU:
Такие суммы, как -3 + 0,7482, состоящие из целого отрицательного числа и положительной десятичной дроби, условились при логарифмических вычислениях писать сокращенно так:
,7482
(такое число читается: с минусом, 7482 десятитысячных), т. е. ставят знак минус над характеристикой с целью показать, что он относится только к этой характеристике, а не к мантиссе, которая остается положительной.

Таким образом, приведенные выше числа можно записать в виде десятичных логарифмов
lg 0,35 =, …
lg 0,07 =, …
lg 0,00008 =, …
Пусть вообще число A есть десятичная дробь, у которой перед первой значащей цифрой α стоит m нулей, считая, в том числе, и 0 целых:

 тогда, очевидно, что

Следовательно:

т. е.
-m < log A < -(m-1).
Так как из двух целых чисел:
-m  и -(m-1) меньшее есть –m
то
lg А = -m + положительная дробь

UВывод №6U: характеристика логарифма десятичной дроби, т.е. числа меньшего 1, содержит в себе столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая, в том числе, и нуль целых; мантисса же такого логарифма положительна

Пример №2.1.3.

Умножим какое-нибудь число N (целое или дробное — всe равно) на 10, на 100 на 1000..., вообще на 1 c нулями, и посмотрим, как от этого изменится lg N.
Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, то
lg (N•10) = lg N + lg 10 =  lg N + 1;
lg (N•100) = lg N + lg 100 =  lg N + 2;
lg (N•1000) = lg N + lg 1000 =  lg N + 3  и т. д.

Когда к lg N  мы прибавляем какое-нибудь целое число, то это число всегда прибавляется к характеристике; при этом  мантисса  всегда остаётся в этих случаях неизменной.

Пример
если lg N = 2,7804, то 2,7804 + 1 =3,7804;  2,7804 + 2 = 4,7801 и т. п.;
или если lg N = 3,5649, то 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 - 2 = 1,5649, и т. п.

Вывод №7: от умножения числа на 10, 100, 1000,.., вообще на 1 с нулями, мантисса логарифма не изменяется, а характеристика увеличивается на столько единиц, сколько нулей  во множителе.

Подобно этому, приняв во внимание, что логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, мы получим:
lg N/10 = lg N - lg 10 = lg N - 1;
lg N/100 = log N - log 100 = log N - 2;
log N/1000 = log N - log 1000 = log N - 3 и т. п.
Когда из lg N  вычитается целое число из логарифма вычитать это целое число всегда следует из характеристики, а мантиссу оставлять без изменения. то можно сказать:

Вывод №8: От деления числа на 1 с нулями мантисса логарифма не изменяется, а характеристика уменьшается   на  столько  единиц, сколько нулей в делителе.

Вывод №9: мантисса логарифма десятичного числа не изменяется от перенесения в числе запятой, потому что перенесение запятой равносильно умножению или делению на 10, 100, 1000 и т. д.

Таким образом, логарифмы чисел:
0,00423,    0,0423,  4,23,    423
отличаются только характеристиками, но не мантиссами (при условии, что все мантиссы положительны).

Вывод №9: мантиссы чисел, имеющих одну и ту же значащую часть, но отличающихся только нулями на конце, одинаковы: так, логарифмы чисел: 23, 230, 2300, 23 000 отличаются только характеристиками.

Назад к разделам