Базальтовая изоляция,
теплоизоляция, звукоизоляция    с 1994 года
(495) 221-59-19  (926) 054-11-11  2215919@mail.ru
Доставка по всей России!
Наши контакты

Москва, ул. Верейская, дом 29
многоканальный
тел./факс: (495) 221-59-19
моб.тел.: +7 (926) 054-11-11

Пишите нам:
2215919@mail.ru

Консультация

Устройство и основные правила пользования логарифмическими таблицами

Предпосылки.

  • Из свойств десятичных логарифмов следует, что характеристику логарифма целого числа и десятичной дроби можно находить без помощи таблиц (в этом заключается большое удобство десятичных логарифмов).
  • Вследствие этого в логарифмических таблицах помещаются только одни мантиссы.
  • Кроме того, т. к. нахождение логарифмов дробей сводится к нахождению логарифмов целых чисел (логарифм дроби = логарифму числителя без логарифма знаменателя), то в таблицах помещаются мантиссы логарифмов только целых чисел.
  • В таблицах помещены только положительные мантиссы.

Преобразование  отрицательного  логарифма  в  такой, у которого мантисса положительна, и обратное преобразование.
Из свойств логарифмов, изложенных в Разделе №12 следует, что  логарифмы чисел, меньших  1, отрицательны. Значит, они состоят из отрицательной характеристики и отрицательной мантиссы. Такие логарифмы всегда можно преобразовать так, что у них мантисса будет положительная, а характеристика   останется   отрицательной.
Для   этого   достаточно прибавить  к мантиссе  положительную  единицу, а к характеристике — отрицательную (от чего, конечно, величина логарифма не  изменится). Поясним это утверждение примерами:
Пример № 2.2.1.

Допустим мы имеем логарифм, какого-то числа равный:
lgN = -2,0873
Тогда можно написать равенство:
-2,0873 = -2  + (-0,0873)
Руководствуясь изложенным выше, преобразуем это равенство таким образом, чтобы характеристика оставалась отрицательным числом, а мантисса стала положительным числом:
-2  + (-0,0873) = -(2 + 1) + (1 - 0,0873) = -3 + 0,9127
Используя принятую в математике систему обозначений, это равенство можно записать сокращённо:

UПример №2.2.2.

Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно превратить в отрицательный.
Для этого достаточно к положительной мантиссе приложить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике — положительную.
Исходя из этого утверждения можно, например, записать:

    •  Описание четырехзначных таблиц

За период после издания Г. Бриггсом первых десятичных таблиц много было издано различных таблиц под редакцией различных авторов. Их суть, практически единая. Отличие главным образом сводится к точности.
Основной тип таблиц:

  • четырёхзначные
  • пятизначные
  • семизначные

С развитием компьютерной техники, издано множество программ, позволяющих легко находить логарифмы чисел и осуществлять поиск чисел по значениям их логарифмов.
Однако, на практике, на бытовом уровне трудно переоценить значение таблиц. Пользование ими не требует ни специальных знаний, ни специальной техники и компьютерных программ. Да и стоимость их мизерная.
Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырехзначные таблицы, обращение с которыми весьма простое. Таблицы периодически издаются. Характерным отличием этих таблиц − надпись «логарифмы» наверху. В них содержатся мантиссы логарифмов.
Для иллюстрации методики пользования таблицами, далее помещается маленькая выписка из четырёхзначных логарифмических таблиц.
В четырёхзначных таблицах логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычислены мантиссы с четырьмя десятичными знаками. Причем последний из этих знаков увеличен на 1 во всех тех случаях, когда 5-й десятичный знак должен был бы оказаться 5 или более 5. Следовательно, четырёхзначные таблицы дают приближенные мантиссы с точностью до 1/2 десятитысячной доли (с недостатком или с избытком).


Таблица № 4

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

50

6990

6998

7007

7016

7024

7033

7042

7050

7059

7067

1 2 3

3 4 5

6 7 8

51

7076

7084

7093

7101

7110

7118

7126

7135

7143

7152

1 2 3

3 4 5

6 7 8

52

7160

7168

7177

7185

7193

7202

7210

7218

7226

7235

1 2 2

3 4 5

6 7 7

53

7243

7251

7259

7267

7275

7284

7292

7300

7308

7316

1 2 2

3 4 5

6 6 7

54

7324

7332

7340

7348

7356

7364

7372

7380

7388

7398

1 2 2

3 4 5

6 6 7

55

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Нахождение логарифма по числу.
Учитывая, что характеристику логарифма целого числа или десятичной дроби можно, на основании свойств десятичных логарифмов, проставить непосредственно, то из таблиц берутся только мантиссы. При этом необходимо вспомнить, что положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа, не имеют влияния на величину мантиссы. Поэтому при нахождении мантиссы по данному числу отбрасываются в этом числе запятая и нули на конце его, если таковые есть, и находится мантисса образовавшегося после этого целого числа.
При этом могут быть следующие случаи.

Случай №1: Целое число состоит из 3-х цифр.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 536.
Первые две цифры этого числа, т. е.  53, находим в таблицах в первом слева вертикальном столбце (см. Таблицу №4).
Найдя число 53, продвигаемся от него по горизонтальной строке вправо до пересечения  этой строчки с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр 0, 1, 2, 3,... 9, поставленных наверху (обычно и внизу) таблицы, которая представляет собою 3-ю цифру данного числа, т.е. в данном примере цифру 6.
В пересечении получим мантиссу 7292 (т. е. 0,7292), принадлежащую логарифму числа 536.
Подобно этому для числа 508 найдем мантиссу 0,7059, для числа 500 найдем 0,6990 и т. п.

Случай №2: Целое число состоит из 2-х или из 1-й цифры.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 51.
Мысленно приписывая к этому числу один нуль.
Образуется число 510. Его мантисса − 7070.

  • Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 5.

Мысленно приписываем два нуля.
Образуется число 500. Его мантисса − 6990 и т. д.

Случай №3: Целое число выражается 4  цифрами.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 5436.
Сначала находим в таблицах, как было указано выше, мантиссу для числа, изображенного первыми 3-мя цифрами данного числа, т. е. для 543.
Эта мантисса − 7348.
Затем, продвигаемся от найденной мантиссы по горизонтальной строке направо (в правую часть таблицы, расположенную за жирной вертикальной чертой) до пересечения с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр: 1, 2 3,... 9, стоящих на верху (обычно и внизу) этой части таблицы, которая представляет собою 4-ю цифру данного числа, т. е. в данном примере цифру 6.
В пересечении находится поправка (число 5), которую в уме надо прибавить к мантиссе 7348, Получается мантисса числа 5436, составляющая 0,7353.

Случай №4: Целое число выражается 5-ю или более цифрами.

В этом случае отбрасываются все цифры, кроме первых 4-х, и берем приближенное четырехзначное число.
При этом последняя цифра этого числа увеличивается на 1 в том случае, когда отбрасываемая 5-я цифра числа есть 5 или больше 5.
Например, вместо:

  • 57842 берётся 5784;
  • 30257 берётся 3026;
  • 583263 берётся 5833 и т. и.

Для этого округленного четырехзначного числа находится мантисса, как объяснено выше             (см. Случай №3).

Нахождение числа по логарифму.
Для нахождения числа по его логарифму могут служить те же таблицы, по которым отыскиваются мантиссы данных чисел.
Однако значительно удобнее пользоваться другими таблицами, в которых помещены так называемые «антилогарифмы», т.е. числа, соответствующие данным мантиссам. Характерным отличием этих таблиц − надпись «антилогарифмы» наверху.
Небольшая часть этих таблиц для объяснения помещена далее (см. Таблицу №5).

Таблица № 5

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

.25

1778

1782

1786

1791

1795

1799

1803

1807

1811

1816

0 1 1

2 2 2

3 3 4

.26

1820

1824

1828

1832

1837

1841

1845

1849

1854

1858

0 1 1

2 2 3

3 3 4

.27

1862

1866

1871

1875

1879

1834

1888

1892

1897

1901

0 1 1

2 2 3

3 3 4

.28

1905

1910

1914

1919

1923

1928

1932

1936

1941

1945

0 1 1

2 2 3

3 3 4

.29

1950

1954

1959

1963

1968

1972

1977

1982

1936

1991

0 1 1

2 2 3

3 3 4

.30

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Методика пользования этими таблицами будет также рассмотрена на примерах.
Предположим, имеется четырёхзначная мантисса 2863 (на характеристику не обращаем внимания) и требуется найти соответствующее ей целое число.
Имея таблицы антилогарифмов, надо пользоваться ими совершенно так же, как и таблицами логарифмов для нахождения мантисс по данному числу, а именно:

  • первые 2 цифры мантиссы находятся в первом слева столбце;
  • затем, продвигаясь от этих цифр по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 3-й цифры мантиссы, которую надо искать в верхней строке (или в нижней), на пересечении находится четырехзначное число (в данном случае 1932), соответствующее мантиссе 286.
  • затем от этого числа, продвигаясь дальше по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 4-й цифры мантиссы, которую надо найти наверху (или внизу) среди поставленных там цифр 1, 2, 3,... 9., находится поправка, равная в данном случае 1, которую (в уме) надо прибавить к найденному раньше числу 1932, чтобы получить число, соответствующее мантиссе 2863.
  • таким образом, число это будет 1933.
  • после этого, обращая внимание  на характеристику, надо в числе 1933  поставить занятую на надлежащем месте.

Примеры.

Если lg x = 3,2863, то х = 1933
Если lg x = 1,2863, то х = 19,33
Если lg x = 0,2863, то х = 1,933
Если , то х = 0,01933
и т.п.
Если в мантиссе указано 5 или более цифр, то берутся только первые 4 цифры, отбрасывая остальные (и увеличивая 4-ю цифру на 1, если 5-я цифра есть 5 или более).

Примеры.

Вместо мантиссы 35478 берётся число 3548
Вместо мантиссы 47562 берётся число 4756
и т.п.

Назад к разделам

Новости
  • 12/05/21
    Акустические стекла в автомобиле — особенности, преимущества установки
    22/03/21
    "ТИЗОЛ" сертифицирует свои системы огнезащиты в соответствии с новым Техрегламентом ЕАЭС
    26/02/21
    Дом по реновации на юге Москвы построят с применением BIM-моделирования.
    31/08/20
    ГК Автодор изменила требования по монтажу шумопонлощающих слоев для ШУМОЗАЩИТНЫХ ЭКРАНОВ, размещаемых вдоль дорог.
    27/03/20
    В период с 30 марта по 3 апреля ООО «РУС «КОРДА» работает в обычном режиме по графику рабочего дня — с 8-00 до 16-00 без обеда.
    06/03/20

    23 февраля не стало Михаила Григорьевича Мансурова, бессменного директора АО "ТИЗОЛ". Он скоропостижно скончался после непродолжительной болезни.
    09/12/19
    "ТИЗОЛ" вновь поднял проблемы пожарной безопасности зданий
    12/11/19
    Hyundai разработает инновационную систему шумоподавления
    17/10/19
    "Одеяла" защитят дома от пожаров


Полезные ссылки