Предпосылки.

• Из свойств десятичных логарифмов следует, что характеристику логарифма целого числа и десятичной дроби можно находить без помощи таблиц (в этом заключается большое удобство десятичных логарифмов).
• Вследствие этого в логарифмических таблицах помещаются только одни мантиссы.
• Кроме того, т. к. нахождение логарифмов дробей сводится к нахождению логарифмов целых чисел (логарифм дроби = логарифму числителя без логарифма знаменателя), то в таблицах помещаются мантиссы логарифмов только целых чисел.
• В таблицах помещены только положительные мантиссы.

Преобразование  отрицательного  логарифма  в  такой, у которого мантисса положительна, и обратное преобразование.
Из свойств логарифмов, изложенных в Разделе №12 следует, что  логарифмы чисел, меньших  1, отрицательны. Значит, они состоят из отрицательной характеристики и отрицательной мантиссы. Такие логарифмы всегда можно преобразовать так, что у них мантисса будет положительная, а характеристика   останется   отрицательной.
Для   этого   достаточно прибавить  к мантиссе  положительную  единицу, а к характеристике — отрицательную (от чего, конечно, величина логарифма не  изменится). Поясним это утверждение примерами:
Пример № 2.2.1.

Допустим мы имеем логарифм, какого-то числа равный:
lgN = -2,0873
Тогда можно написать равенство:
-2,0873 = -2  + (-0,0873)
Руководствуясь изложенным выше, преобразуем это равенство таким образом, чтобы характеристика оставалась отрицательным числом, а мантисса стала положительным числом:
-2  + (-0,0873) = -(2 + 1) + (1 - 0,0873) = -3 + 0,9127
Используя принятую в математике систему обозначений, это равенство можно записать сокращённо:

UПример №2.2.2.

Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно превратить в отрицательный.
Для этого достаточно к положительной мантиссе приложить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике — положительную.
Исходя из этого утверждения можно, например, записать:

•  Описание четырехзначных таблиц

За период после издания Г. Бриггсом первых десятичных таблиц много было издано различных таблиц под редакцией различных авторов. Их суть, практически единая. Отличие главным образом сводится к точности.
Основной тип таблиц:

• четырёхзначные
• пятизначные
• семизначные

С развитием компьютерной техники, издано множество программ, позволяющих легко находить логарифмы чисел и осуществлять поиск чисел по значениям их логарифмов.
Однако, на практике, на бытовом уровне трудно переоценить значение таблиц. Пользование ими не требует ни специальных знаний, ни специальной техники и компьютерных программ. Да и стоимость их мизерная.
Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырехзначные таблицы, обращение с которыми весьма простое. Таблицы периодически издаются. Характерным отличием этих таблиц − надпись «логарифмы» наверху. В них содержатся мантиссы логарифмов.
Для иллюстрации методики пользования таблицами, далее помещается маленькая выписка из четырёхзначных логарифмических таблиц.
В четырёхзначных таблицах логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычислены мантиссы с четырьмя десятичными знаками. Причем последний из этих знаков увеличен на 1 во всех тех случаях, когда 5-й десятичный знак должен был бы оказаться 5 или более 5. Следовательно, четырёхзначные таблицы дают приближенные мантиссы с точностью до 1/2 десятитысячной доли (с недостатком или с избытком).

Таблица № 4
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1 2 3	4 5 6	7 8 9
50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067	1 2 3	3 4 5	6 7 8
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152	1 2 3	3 4 5	6 7 8
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235	1 2 2	3 4 5	6 7 7
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316	1 2 2	3 4 5	6 6 7
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7398	1 2 2	3 4 5	6 6 7
55	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Нахождение логарифма по числу.
Учитывая, что характеристику логарифма целого числа или десятичной дроби можно, на основании свойств десятичных логарифмов, проставить непосредственно, то из таблиц берутся только мантиссы. При этом необходимо вспомнить, что положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа, не имеют влияния на величину мантиссы. Поэтому при нахождении мантиссы по данному числу отбрасываются в этом числе запятая и нули на конце его, если таковые есть, и находится мантисса образовавшегося после этого целого числа.
При этом могут быть следующие случаи.

Случай №1: Целое число состоит из 3-х цифр.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 536.
Первые две цифры этого числа, т. е.  53, находим в таблицах в первом слева вертикальном столбце (см. Таблицу №4).
Найдя число 53, продвигаемся от него по горизонтальной строке вправо до пересечения  этой строчки с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр 0, 1, 2, 3,... 9, поставленных наверху (обычно и внизу) таблицы, которая представляет собою 3-ю цифру данного числа, т.е. в данном примере цифру 6.
В пересечении получим мантиссу 7292 (т. е. 0,7292), принадлежащую логарифму числа 536.
Подобно этому для числа 508 найдем мантиссу 0,7059, для числа 500 найдем 0,6990 и т. п.

Случай №2: Целое число состоит из 2-х или из 1-й цифры.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 51.
Мысленно приписывая к этому числу один нуль.
Образуется число 510. Его мантисса − 7070.

• Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 5.

Мысленно приписываем два нуля.
Образуется число 500. Его мантисса − 6990 и т. д.

Случай №3: Целое число выражается 4  цифрами.

Пусть надо найти мантиссу логарифма числа 5436.
Сначала находим в таблицах, как было указано выше, мантиссу для числа, изображенного первыми 3-мя цифрами данного числа, т. е. для 543.
Эта мантисса − 7348.
Затем, продвигаемся от найденной мантиссы по горизонтальной строке направо (в правую часть таблицы, расположенную за жирной вертикальной чертой) до пересечения с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр: 1, 2 3,... 9, стоящих на верху (обычно и внизу) этой части таблицы, которая представляет собою 4-ю цифру данного числа, т. е. в данном примере цифру 6.
В пересечении находится поправка (число 5), которую в уме надо прибавить к мантиссе 7348, Получается мантисса числа 5436, составляющая 0,7353.

Случай №4: Целое число выражается 5-ю или более цифрами.

В этом случае отбрасываются все цифры, кроме первых 4-х, и берем приближенное четырехзначное число.
При этом последняя цифра этого числа увеличивается на 1 в том случае, когда отбрасываемая 5-я цифра числа есть 5 или больше 5.
Например, вместо:

• 57842 берётся 5784;
• 30257 берётся 3026;
• 583263 берётся 5833 и т. и.

Для этого округленного четырехзначного числа находится мантисса, как объяснено выше             (см. Случай №3).

Нахождение числа по логарифму.
Для нахождения числа по его логарифму могут служить те же таблицы, по которым отыскиваются мантиссы данных чисел.
Однако значительно удобнее пользоваться другими таблицами, в которых помещены так называемые «антилогарифмы», т.е. числа, соответствующие данным мантиссам. Характерным отличием этих таблиц − надпись «антилогарифмы» наверху.
Небольшая часть этих таблиц для объяснения помещена далее (см. Таблицу №5).

Таблица № 5
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1 2 3	4 5 6	7 8 9
.25	1778	1782	1786	1791	1795	1799	1803	1807	1811	1816	0 1 1	2 2 2	3 3 4
.26	1820	1824	1828	1832	1837	1841	1845	1849	1854	1858	0 1 1	2 2 3	3 3 4
.27	1862	1866	1871	1875	1879	1834	1888	1892	1897	1901	0 1 1	2 2 3	3 3 4
.28	1905	1910	1914	1919	1923	1928	1932	1936	1941	1945	0 1 1	2 2 3	3 3 4
.29	1950	1954	1959	1963	1968	1972	1977	1982	1936	1991	0 1 1	2 2 3	3 3 4
.30	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Методика пользования этими таблицами будет также рассмотрена на примерах.
Предположим, имеется четырёхзначная мантисса 2863 (на характеристику не обращаем внимания) и требуется найти соответствующее ей целое число.
Имея таблицы антилогарифмов, надо пользоваться ими совершенно так же, как и таблицами логарифмов для нахождения мантисс по данному числу, а именно:

• первые 2 цифры мантиссы находятся в первом слева столбце;
• затем, продвигаясь от этих цифр по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 3-й цифры мантиссы, которую надо искать в верхней строке (или в нижней), на пересечении находится четырехзначное число (в данном случае 1932), соответствующее мантиссе 286.
• затем от этого числа, продвигаясь дальше по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 4-й цифры мантиссы, которую надо найти наверху (или внизу) среди поставленных там цифр 1, 2, 3,... 9., находится поправка, равная в данном случае 1, которую (в уме) надо прибавить к найденному раньше числу 1932, чтобы получить число, соответствующее мантиссе 2863.
• таким образом, число это будет 1933.
• после этого, обращая внимание  на характеристику, надо в числе 1933  поставить занятую на надлежащем месте.

Примеры.

Если lg x = 3,2863, то х = 1933
Если lg x = 1,2863, то х = 19,33
Если lg x = 0,2863, то х = 1,933
Если , то х = 0,01933
и т.п.
Если в мантиссе указано 5 или более цифр, то берутся только первые 4 цифры, отбрасывая остальные (и увеличивая 4-ю цифру на 1, если 5-я цифра есть 5 или более).

Примеры.

Вместо мантиссы 35478 берётся число 3548
Вместо мантиссы 47562 берётся число 4756
и т.п.

Назад к разделам